Matrices y sus Aplicaciones en la Ciencias

Objetivos y Competencias:

• Identificar las matrices y los tipos de matrices.
• Realizar la suma y el producto de matrices e identificar su problemática.
• Obtener el rango de una matriz.
• Utilizar el concepto de inversa de una matriz.
• Utilizar las propiedades de los determinantes.
• Mostrar las aplicaciones del cálculo matricial.
• Mostrar las aplicaciones de los determinantes

Responder el Siguiente Cuestionario

1-¿En cuales situaciones es posible aplicar las matrices?

En sociología o antropología cuando queremos separar los ciudadanos de un Pais de acuerdo a sus ingresos laborales medio o rico

2-¿Qué constituye actualmente la utilización de las matrices?

Una parte esencial en la informática y los lenguajes de programación

3-¿Cuáles son los campos de aplicación de las matrices?

La física, la biología, la economía, e ingeniería hasta la aplicaciones más reciente como la generación de gráficos por computadora

4-¿Qué son los lenguajes de programación?

Sistema de comunicación que posee una determinada estructura, contenidos y uso

5-¿Cómo se define la criptografía?

Es una técnica que protege documentos y datos.

Nota
Este es un vídeo introductorio al tema de las matrices sin el cual no se le daría la misma importancia que tiene esta unidad en donde se explica claramente en donde se pueden utilizar las matrices en la vida diaria 

Matriz

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Elemento de una matriz

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento.

Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.

Dimensión de una matriz

El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz de dimensión mxn es una matriz que tiene m filas y n columnas.

Los elementos dispuestos en forma horizontal son las filas, y los elementos en forma vertical son las columnas.

De este modo, una matriz puede ser de dimensión: 2x4 (2 filas y 4 columnas), 3x2 (3 filas y 2 columnas), 2x5 (2 filas y 5 columnas),...

Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columnas, se dice que es de orden: 2, 3, 4, entre otros.

Este Vídeo explica los conceptos antes definidos de una matriz 

El siguiente vídeo explica de forma detallada las matrices iguales 

                                             

 La igualdad de matrices cumple las siguientes propiedades

1)   Propiedad simétrica (M=N) implica que (N=M)

2)   Propiedad determinativa: (A=B) o (A≠B)

3)   Propiedad transitiva: (A=B) y (B=C) implica que A=C

4)   Propiedad reflexiva: para todo M, M=M

Ejercicios Propuesto 5-1 (página 82-83)

Temas I, II, III y IV todos los ejercicios

Tipos de Matrices

Matriz fila

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna

La matriz columna tiene una sola columna

Matriz rectangular

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

·      (A^t)^t = A

·      (A + B)^t = A^t + B^t

·      (α ·A)^t = α· A^t

·      (A ·  B)^t = B^t · A^t

Matriz nula

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma a_ii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz.

Véase el siguiente vídeo para entender mejor los tipos de matrices 

                                          

Ejercicios Propuesto 5-2 (página 84-85)

Temas I, II, III todos los ejercicios

Operaciones con Matrices

Suma y Resta de Matrices

Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3,2. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.

       

                                                    

Propiedades de la suma de matrices

 

 1.  Interna

La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.

 2.  Asociativa

A + (B + C) = (A + B) + C

 3.  Elemento neutro

A + 0 = A

Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.

 4.  Elemento opuesto

A + (−A) = O

La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.

 5.  Conmutativa

A + B = B + A

                                    

Ejercicios Propuesto 5-4 (página 87)

Temas I todos los ejercicios

Multiplicación de una Matriz por un Escalar

Dada una matriz A=(a_ij) y un número real k   R, se define la multiplicación de un número real por una matriz a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.
                              
Propiedades 

• El producto escalar es distributivo respecto a la suma de matrices

                            K ( A + B ) = KA + KB        

• El producto escalar es asociativo

                            KC (A) = K (CA)

                                                     

Producto de Vector fila por un Vector Columna

Esta dado por (1xn) (mx1) y se define como una matriz 1x1. El producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila por el correspondiente de la columna y luego sumamos los productos.

Por ejemplo        

Observe que en la imagen anterior tenemos tres ejercicios a, b y c si realizamos el ejercicio a primero debemos comprobar que el numero de columna de la primer matriz (1,3) sea igual al numero de filas de la segunda matriz (3,1) son iguales entonces procedemos al calcular el producto y tenemos

a) = (-3)(-1)+(5)(-6)+(4)(8) = 3-30+32 = 5

El ejercicio b tiene 4 columnas en horizontal y 4 filas en vertical por tanto es posible

= (4)(3)+(7)(-8)+(0)(9)+(-1)(-2) = 12-56+0+2 = -42

Véase los mismos ejemplos en el vídeo siguiente

                                                     

Ejercicios Propuesto 5-5 (página 89)

Temas I todos los ejercicios

Multiplicación de dos Matrices A y B

Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

M_{m x n} x M_{n x p} = M _{m x p}

El elemento c_ij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

                                              

Propiedades de la multiplicación de matrices

Asociativa:

A · (B · C) = (A · B) · C

Elemento neutro:

A · I = A

Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.

No es Conmutativa:

A · B ≠ B · A

Distributiva del producto respecto de la suma:

A · (B + C) = A · B + A · C

                       
                        

Ejercicios Propuesto 5-6 (página 91-92)

Temas I, II todos los ejercicios

Determinantes

Es un número real que está asociado a una matriz

Ejemplo obtener el determinante de las siguientes matrices

1)     1     2

   3     4

El determinante de esta matriz como es 2x2 una matriz cuadrada se multiplica la diagonal principal en este caso 1x4 y se le resta la diagonal secundaria que sería 2x3

det.= (1)(4) – (2)(3) = 4 – 6 = -2, este es nuestro determinante

Veamos otro ejemplo pero con una matriz 3x3

    1        5       4

    3        2       1        

    5        1      -2

En este caso le agregaremos las dos primeras columnas y quedaría así

1  5  4  1  5

3     2    1     3     2

5     1    -2   5     1

Calculamos la diagonal principal y le restamos la diagonal secundaria hagamos estas separadas y luego las restamos

Diagonal principal sería entonces (1)(2)(-2)+(5)(1)(5)+(4)(3)(1) = -4+25+12 = 33

Diagonal secundaria sería entonces (5)(3)(-2)+(1)(1)(1)+(4)(2)(5) = -30+1+40 = 11

Diagonal principal menos diagonal secundaria seria 33-11 = 22

Observe que las líneas que van hacia la derecha son de la diagonal principal y la que van hacia su izquierda son las diagonales secundarias

                                       Véase el vídeo a continuación para entender mejor  

                                                    

Ejercicios Propuesto 5-7 (página 93-94)

Temas I, II todos los ejercicios

Matriz Inversa

Es aquella que se simboliza por A^-1

Solamente de matrices cuadrada es posible obtener matrices inversas, cuando su determinante es diferente de cero.

Veamos el siguiente ejemplo

Obtener la matriz inversa de

2    3

1    4.

Det = (2)(4) – (3)(1) = 8-3 = 5

Ahora intercambiamos los elementos de la diagonal principal de lugar que son 3 y 4

A los de la diagonal secundaria le cambiamos solamente el signo y dividimos todos los elementos de la matriz entre el det y nos quedara así

 4/5    -3/5

-1/5     2/5

Otro ejemplo

  2    6 

 1     3                                                

Det = (2)(3) - (6)(1) = 6 – 6 = 0

Como el determinante es cero esta matriz no tiene inversa el proceso termino

Véase el vídeo a continuación para entender mejor    

                                            

                                                                                                      

Ejercicios Propuesto 5-8 (página 96)           

Temas I los ejercicios A, B, C, D solamente

Resolución de un Sistema de Ecuaciones Por el Método Matricial

En este vídeo esta todo bien desarrollado 

                                      

Nota

Deben dedicarle tiempo a los vídeos y estudiar la teoría para poder dominar el tema. En el curso me encargare de explicarle lo que no entendieron.